Zanimivo

Kako dokazati zakone De Morgana

Kako dokazati zakone De Morgana

Pri matematični statistiki in verjetnosti je pomembno poznati teorijo množic. Osnovne operacije teorije množic so povezane z določenimi pravili pri izračunu verjetnosti. Interakcije teh elementarnih operacij združevanja, presečišča in dopolnjevanja pojasnjujejo dve trditvi, znani kot De Morganovi zakoni. Po navedbi teh zakonov bomo videli, kako jih dokazati.

Izjava De Morganovih zakonov

De Morganovi zakoni se nanašajo na interakcijo zveze, presečišča in dopolnjevanja. Spomnimo se:

  • Presečišče sklopov A in B je sestavljen iz vseh elementov, ki so skupni obema A in B. Križišče je označeno z AB.
  • Zveza skupcev A in B je sestavljen iz vseh elementov, ki v obeh A ali B, vključno z elementi v obeh sklopih. Križišče je označeno z A U B.
  • Dopolnilo kompleta A je sestavljen iz vseh elementov, ki niso elementi A. To dopolnilo označujemo z AC.

Zdaj, ko smo se spomnili teh osnovnih operacij, bomo videli izjavo De Morganovih zakonov. Za vsak par kompletov A in B

  1. (A ∩ B)C = AC U BC.
  2. (A U B)C = AC ∩ BC.

Oris strategije dokazovanja

Preden skočimo v dokaz, bomo razmislili, kako dokazati zgornje trditve. Poskušamo pokazati, da sta dva niza enaka drug drugemu. Način, kako to poteka v matematičnem dokazu, je postopek dvojne vključenosti. Ta način dokazovanja je:

  1. Pokažite, da je niz na levi strani našega znaka enak podmnožica niza na desni.
  2. Postopek ponovite v nasprotni smeri, pri čemer pokažete, da je niz na desni podmnožica na levi strani.
  3. Ta dva koraka nam omogočata, da lahko rečemo, da so seti v resnici enaki drug drugemu. Sestavljeni so iz vseh istih elementov.

Dokaz enega od zakonov

Videli bomo, kako naj dokažemo prvi od De Morganovih zakonov zgoraj. Začnemo s tem, da pokažemo, da (A ∩ B)C je podskupina AC U BC.

  1. Najprej pomislimo, da x je element (A ∩ B)C.
  2. To pomeni da x ni element (A ∩ B).
  3. Ker je presečišče skupek vseh elementov, skupnih obema A in B, prejšnji korak pomeni to x ne more biti element obojega A in B.
  4. To pomeni da x mora biti element vsaj enega od nizov AC ali BC.
  5. To po definiciji pomeni x je element AC U BC
  6. Prikazali smo želeno vključitev podskupine.

Naš dokaz je zdaj na polovici. Če ga želite dokončati, prikazujemo nasprotno vključeno podskupino. Natančneje moramo pokazati AC U BC je podskupina (A ∩ B)C.

  1. Začnemo z elementom x v naboru AC U BC.
  2. To pomeni da x je element AC ali to x je element BC.
  3. Tako x ni element vsaj enega od nizov A ali B.
  4. Torej x ne more biti element obojega A in B. To pomeni da x je element (A ∩ B)C.
  5. Prikazali smo želeno vključitev podskupine.

Dokazilo o drugem zakonu

Dokaz druge izjave je zelo podoben dokazu, ki smo ga opisali zgoraj. Vse, kar je treba storiti, je prikazati podmnožico vključevanja nizov na obeh straneh znaka enakosti.


Video, Sitemap-Video, Sitemap-Videos